앞에서처럼 컴퓨터를 노가다 뛰게 하는 SQL을 만들고서는 어떻게 하면 속도를 개선할까, 정밀도를 높일까... 했는데... 이게 근사식을 만드는 공식이 있었다. 그것도 아주 여러 레코드(Row)를 SUM 하지 않고서도 한 번에 계산이 되는.

애초에 누적정규분포를 구하는 공식은 아래와 같은 적분식인데...

이 적분을 나타나게 해주는 일반적인 식이 없다...라는 게 인터넷 검색 결과였는데... 근사식은 있었던 거...

자 공식 한 번 보자.

a₀ = 0.2316419
a₁ = 0.319381530
a₂ = –0.356563782
a₃ = 1.781477937
a₄ = –1.821255978
a₅ = 1.330274429

근사식만 봐도 골치아플 거 같다. 이해하기 싫으면 그냥 아래 SQL을 퍼가기만 하자.

SELECT  CASE
            WHEN :InpVal >= :mean THEN 1 - FX_VAL /* 입력값이 평균보다 이상일 경우 */
            ELSE FX_VAL                           /* 입력값이 평균보다 작을 경우 */
        END AS REGULAR_DISTRIBUTE
FROM
    (
        SELECT  (
                    (A1 * Y)
                  + (A2 * POWER(Y, 2))
                  + (A3 * POWER(Y, 3))
                  + (A4 * POWER(Y, 4))
                  + (A5 * POWER(Y, 5))
                )
                *
                  ----------------------------
                  -- 아래는 위 수식의 f(x) 부분
                  ----------------------------
                  (   EXP( -1 * POWER(X, 2) / 2)
                    / SQRT( 2 * ACOS(-1) )        /* SQRTPI(2) */
                  )
                AS FX_VAL
        FROM
            (
                SELECT   A0
                       , A1
                       , A2
                       , A3
                       , A4
                       , A5
                       , X
                       , 1 / (1 + (A0 * X)) AS Y
                FROM
                    (
                        SELECT    0.2316419     AS A0
                                , 0.319381530   AS A1
                                , -0.356563782  AS A2
                                , 1.781477937   AS A3
                                , -1.821255978  AS A4
                                , 1.330274429   AS A5
                                , ABS( :InpVal - :mean ) / :stdv AS X   /* 표준정규분포 변환식 */
                        FROM    DUAL
                    )
           )
     )
;

SQL 의 주석이랑 수식을 비교해보면 대충 감이 올 거다. 안오면 할 수 없고. 위의 SQL은 표준정규분포의 누적함수 개념을 차용했지만, 변환식을 중간에 넣어놨기 때문에 사용자가 입력값들을 표준정규분포로 변환할 필요는 없다. 물론 평균 0, 표준편차 1로 하는 걸로 :InpVal 을 변환해도 상관없고.

결과나 보자.

엑셀 결과는 아래와 같다.

상당히 많이 근접했다. 이 케이스의 경우 소수점 이하 8째 자리까지이지만 일반적으로는 6째 자리까지라고 한다.

그럼 다른 케이스를 검증해보자.

여기서는 소수점 이하 6째 자리까지만 맞다.

이와 같이 이 SQL은 이후에 나올 정밀도 높은 거보다는 길이가 짧고, 바탕 수식도 이해하기 쉬워서 소수점 이하 6째 자리 정도로만 해도 충분할 경우에는 (고등학교 통계 시간에 본 정규분포표도 소수점 이하 4째 자리까지만 나온다) 저걸로 써도 된다.

하지만 소수점 이하 10째 자리 이상의 정밀도가 필요할 경우에는 다음 글의 SQL을 사용해야 한다.