GRE Math를 심심풀이삼아 보다가 중학교때 배웠던 식이 하나 기억에

떠올랐는데, 그때는 '그냥 그렇구나'하고 넘어갔는데 문득 그 이유에 대한

증명을 배운 적이 없다는 생각이 들어서 한 번 정리해보기로 했다.



모든 자리수의 숫자를 더했을 때 3의 배수가 나오면 (예를 들어 123의

자리수 1, 2, 3을 더하면 6이 나오면), 그 수는 (123은) 3의 배수임을

증명하라.


증명:

세자리수를 xyz (x, y, z는 1~9의 정수) 형식이라고 할 때

(123을 예로 들면 x=1, y=2, z=1)

xyz = (x × 100) + (y × 10) + z 이다.

(x × 100) + (y × 10) + z = 3 × n (n은 정수)이므로

{(x × 100) + (y × 10) + z} / 3 = n 이다.


(x × 100) + (y × 10) + z

= (99x + x) + (9y + y) + z

= (99x + 9y) + (x + y + z)

= 3(33x + 3y) + (x + y + z)

= 3n

이 값을 3으로 나누면

(33x + 3y) + (x + y + z)/3 = n

이 된다.

여기서 n은 정수, 33y, 3y도 정수이다.

정수는 덧셈 공식에 닫혀있으므로 (정수 + 정수 = 정수)

(x + y + z) / 3 역시 정수이어야 한다. 고로 x + y + z는

3의 배수이어야만 한다. 자릿수를 확장하더라도 마찬가지이다.

9의 경우도 마찬가지이므로 xyz가 9의 배수라면 x + y + z는

9의 배수이다.